백준 11066번 - 파일 합치기(C++)

문제

소설가인 김대전은 소설을 여러 장(chapter)으로 나누어 쓰는데, 각 장은 각각 다른 파일에 저장하곤 한다. 소설의 모든 장을 쓰고 나서는 각 장이 쓰여진 파일을 합쳐서 최종적으로 소설의 완성본이 들어있는 한 개의 파일을 만든다. 이 과정에서 두 개의 파일을 합쳐서 하나의 임시파일을 만들고, 이 임시파일이나 원래의 파일을 계속 두 개씩 합쳐서 소설의 여러 장들이 연속이 되도록 파일을 합쳐나가고, 최종적으로는 하나의 파일로 합친다. 두 개의 파일을 합칠 때 필요한 비용(시간 등)이 두 파일 크기의 합이라고 가정할 때, 최종적인 한 개의 파일을 완성하는데 필요한 비용의 총 합을 계산하시오.

예를 들어, C1, C2, C3, C4가 연속적인 네 개의 장을 수록하고 있는 파일이고, 파일 크기가 각각 40, 30, 30, 50 이라고 하자. 이 파일들을 합치는 과정에서, 먼저 C2와 C3를 합쳐서 임시파일 X1을 만든다. 이때 비용 60이 필요하다. 그 다음으로 C1과 X1을 합쳐 임시파일 X2를 만들면 비용 100이 필요하다. 최종적으로 X2와 C4를 합쳐 최종파일을 만들면 비용 150이 필요하다. 따라서, 최종의 한 파일을 만드는데 필요한 비용의 합은 60+100+150=310 이다. 다른 방법으로 파일을 합치면 비용을 줄일 수 있다. 먼저 C1과 C2를 합쳐 임시파일 Y1을 만들고, C3와 C4를 합쳐 임시파일 Y2를 만들고, 최종적으로 Y1과 Y2를 합쳐 최종파일을 만들 수 있다. 이때 필요한 총 비용은 70+80+150=300 이다.

소설의 각 장들이 수록되어 있는 파일의 크기가 주어졌을 때, 이 파일들을 하나의 파일로 합칠 때 필요한 최소비용을 계산하는 프로그램을 작성하시오.

입력

프로그램은 표준 입력에서 입력 데이터를 받는다. 프로그램의 입력은 T개의 테스트 데이터로 이루어져 있는데, T는 입력의 맨 첫 줄에 주어진다.각 테스트 데이터는 두 개의 행으로 주어지는데, 첫 행에는 소설을 구성하는 장의 수를 나타내는 양의 정수 K (3 ≤ K ≤ 500)가 주어진다. 두 번째 행에는 1장부터 K장까지 수록한 파일의 크기를 나타내는 양의 정수 K개가 주어진다. 파일의 크기는 10,000을 초과하지 않는다.

출력

프로그램은 표준 출력에 출력한다. 각 테스트 데이터마다 정확히 한 행에 출력하는데, 모든 장을 합치는데 필요한 최소비용을 출력한다.

예제 입력 1 

2
4
40 30 30 50
15
1 21 3 4 5 35 5 4 3 5 98 21 14 17 32

예제 출력 1 

300
864

문제 풀이

#include<iostream>
#include <algorithm>
 
int INF = 1000000007;
using namespace std;
 
int dp[501][501];
int cost[501];
int sum[501];
int T, K;
 
int main() {
    cin >> T;
    while (T--) 
    {
        cin >> K;
        for (int i = 1; i <= K; ++i) 
        {
            cin >> cost[i];
            sum[i] = sum[i - 1] + cost[i];
        }
 
        for (int d = 1; d < K; ++d) 
        {
            for (int x = 1; x + d <= K; ++x) 
            {
                int y = x + d;
                dp[x][y] = INF;
 
                for (int mid = x; mid < y; ++mid)
                    dp[x][y] = min(dp[x][y], dp[x][mid] + dp[mid + 1][y] + sum[y] - sum[x - 1]);
            }
        }
        cout << dp[1][K] << endl;
    }
    return 0;
}

아이디어

dp[i][j] = i부터 j까지 페이지를 합친 최솟값 (단, i < j)

sum[i] = 0부터 i까지 페이지의 값을 더한 값

dp[i][i] = cost[i] 

 

세 가지 경우로 나누어 생각할 수 있다

a == b인 경우: 이 경우 a부터 a까지의 페이지는 이미 하나이므로 합칠 필요 없다. 

=> dp[a][a] = cost[a].

a와 b가 인접한 경우 (b = a + 1): 이 경우 a와 b 두 페이지만 합쳐서 최솟값을 구하면 된다.

=> dp[a][a+1] = cost[a] + cost[a+1].

a와 b가 떨어진 경우 (b > a + 1): 이 경우 점화식을 사용하여 최솟값을 구할 수 있다.

dp[a][b] = min(dp[a][k] + dp[k+1][b] + sum[b] - sum[a-1]) 여기서 a <= k < b인 k를 선택하여 최솟값을 찾는다.

sum[b] - sum[a-1]은 a부터 b까지의 페이지 합을 나타낸다.

만약 b > a + 1인데, b - a + 1이 4 이상인 경우: 이 경우 a와 b를 인접한 두 페이지로 나누어 생각할 수 있다. 즉, a부터 a+1까지와 a+2부터 b까지의 두 구간으로 나눈다.

dp[a][b] = min(dp[a][a+1] + dp[a+2][b], dp[a][a+2] + dp[a+3][b])와 같은 4개 이상의 페이지에 대해서도 최적의 값을 구할 수 있다.

 따라서 주어진 설명과 동일한 방식으로 최솟값을 계산하려면, 인접한 두 페이지부터 점화식을 사용하되, 페이지 개수가 4 이상일 때에는 두 구간으로 나누어 최적의 값을 구해야 한다.