백준 1699번 - 제곱수의 합(C++)

문제

어떤 자연수 N은 그보다 작거나 같은 제곱수들의 합으로 나타낼 수 있다. 예를 들어 11=32+12+12(3개 항)이다. 이런 표현방법은 여러 가지가 될 수 있는데, 11의 경우 11=22+22+12+12+12(5개 항)도 가능하다. 이 경우, 수학자 숌크라테스는 “11은 3개 항의 제곱수 합으로 표현할 수 있다.”라고 말한다. 또한 11은 그보다 적은 항의 제곱수 합으로 표현할 수 없으므로, 11을 그 합으로써 표현할 수 있는 제곱수 항의 최소 개수는 3이다.

주어진 자연수 N을 이렇게 제곱수들의 합으로 표현할 때에 그 항의 최소개수를 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력

첫째 줄에 자연수 N이 주어진다. (1 ≤ N ≤ 100,000)

출력

주어진 자연수를 제곱수의 합으로 나타낼 때에 그 제곱수 항의 최소 개수를 출력한다.

예제 입력 1 

7

예제 출력 1 

4

예제 입력 2 

1

예제 출력 2 

1

예제 입력 3 

4

예제 출력 3 

1

예제 입력 4 

11

예제 출력 4 

3

예제 입력 5 

13

예제 출력 5 

2

문제 풀이

#include <iostream>
#include <math.h>
using namespace std;

int main(void)
{
    int num = 0;
    cin >> num;
    int DP[100001];
    DP[0] = 0;
    for(int i = 1 ;  i <= num ; i++)
    {
        DP[i] = i;
        for(int j = 1 ; j*j <= i ; j++)
        {
            DP[i] = (DP[i] < DP[i - j*j] + 1 ) ? DP[i] : DP[i-j*j] + 1;
        }
    }
    cout << DP[num];
    
    return 0;
}

동적 계획법을 이용했다. 

처음에는 num값에 가장 가까운 제곱수를 더하는 것이 최소일 것 같았으나 그렇지 않았다.

32의 경우,

32 = 25 + 7 =>  5^2 + 2^2 + 1^2 + 1^2 + 1^2 // 5개의 항

32 = 16 + 16 => 4^2 + 4^2 // 2개의 항

와 같은 사실을 발견했다.

따라서 제곱수의 합 중 최소가 되는 개수를 구분할 필요가 있었고, 어떤 제곱수 자체에 초점을 두는 것이 아니라 제곱수의 합을 빼고 남은 값에 초점을 맞춰 접근할 수 있었다.

DP[7] = DP[7 - 2^2] + 1; // +1은 2^2이라는 제곱수를 뺏으니 해당 개수를 더한 것.

=> DP[7] = DP[3] + 1;